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希腊史9:数学之父毕达哥拉斯杀死发现无理数学生引发危机

大家也许对毕达哥拉斯这个名字陌生,但是大家一定听说过勾股定理。《周髀算经》记载公元前十一世纪,汉朝的高商提出了“勾三股四弦五”。而在古希腊的毕达哥拉斯也发现了这一定理,并将其验证,因此西方把勾股定理被称为毕达哥拉斯定理。本文就讲讲毕达哥拉斯定理的主人公毕达哥拉斯。

毕达哥拉斯(Pythagoras,约前580年-约前500年),古希腊数学家、哲学家。毕达哥拉斯将数学和哲学结合在一起,创立以数学为本原的学派——毕达哥拉斯学派,亦称“南意大利学派”。从他开始,希腊哲学开始产生了数学的研究,被尊称为“数学之父”。毕达哥拉斯用数学研究乐理,由此所产生的“和谐”的概念。他认为数学可以解释世界上的一切事物,对数字痴迷到几近崇拜;同时认为一切真理都可以用比例、平方及直角三角形去反映和证实。在宇宙论方面他认为存在着许多但有限个世界,并坚持大地是圆形的。在数学上,毕达哥拉斯被认为是勾股定理的发现者,在西方,勾股定理被称为毕达哥拉斯定理,对数学发展影响重大。

公元前580年,毕达哥拉斯出生在米利都附近的萨摩斯岛(Samos)。萨摩斯岛在爱琴海东部,是爱琴海中距小亚细亚大陆最近的希腊岛屿,和小亚细亚只隔窄狭的萨摩斯海峡,岛上有毕达哥拉斯纪念馆。

毕达哥拉斯的父亲是一个富商,九岁时被父亲送到提尔,在闪族叙利亚学者那里学习,在这里他接触了东方的宗教和文化。以后他又多次随父亲作商务旅行到小亚细亚。

公元前551年,毕达哥拉斯来到米利都、得洛斯等地,拜访了泰勒斯、阿那克西曼德和菲尔库德斯,并成为了他们的学生。在此之前,他已经在萨摩斯的诗人克莱非洛斯那里学习了诗歌和音乐。

公元前550年,30岁的毕达哥拉斯因宣传理性神学,穿东方人服装,蓄上头发从而引起当地人的反感,从此萨摩斯人一直对毕达哥拉斯有成见,认为他标新立异,鼓吹邪说。毕达哥拉斯被迫于公元前535年离家前往埃及,途中他在腓尼基各沿海城市停留,学习当地神话和宗教,并在提尔一神庙中静修。

抵达埃及后,国王阿马西斯推荐他入神庙学习。从公元前535年到公元前525年这十年中,毕达哥拉斯学习了象形文字和埃及神话、历史和宗教,并宣传希腊哲学,受到许多希腊人尊敬,帕索斯费雷拉有不少人投到他的门下求学。

毕达哥拉斯在49岁时返回家乡萨摩斯,然后又去了克里特岛,在那里他用很短的时间研究了法律制度。在萨莫斯岛,他建立了一所学校,他把该学校命名为“半圆”(Semicircle)。

约公元前520年,毕达哥拉斯与母亲和唯一的一个门徒离开萨摩斯,移居西西里岛,后来定居在克罗托内(Crotone)。在那里他广收门徒,建立了毕达哥拉斯学派。他的演讲吸引了各阶层的人士,很多上层社会的人士来参加演讲会。按当时的风俗,妇女是被禁止出席公开的会议的,毕达哥拉斯打破了这个成规,允许她们也来听讲。热心的听众中就有他后来的妻子西雅娜,她年轻漂亮,曾给他写过传记,可惜已经失传了。

约公元前508年,毕达哥拉斯学派在克罗托内的活动场所遭到了严重的破坏。毕达哥拉斯被迫移居他林敦(今意大利南部塔兰托),并于公元前500年去世,享年80岁。许多门徒逃回希腊本土,在弗利奥斯重新建立据点,另一些人到了塔兰托,继续进行数学哲学研究,以及政治方面的活动,直到公元前4世纪中叶。毕达哥拉斯学派持续繁荣了两个世纪之久。

从毕达哥拉斯开始,希腊哲学开始产生了数学的传统。毕达哥拉斯通过对数学的研究,发现数量关系是事物的共同基础,因为一切事物的性质都可以归结为数的规定性。于是,把“数”这种不具形体的、普遍的、抽象的东西看作万物的本原。毕达哥拉斯认为整个宇宙是数及其关系的和谐的体系。毕达哥拉斯将数神秘化,说数是众神之母,是普遍的始原,是自然界中对立性和否定性的原则。而且,他还提出了自己的理论体系。比如毕达哥拉斯学派认为“1”是数的第一原则,万物之母,也是智慧;“2”是对立和否定的原则,是意见;“3”是万物的形体和形式;“4”是正义,是宇宙创造者的象征;“5”是奇数和偶数,雄性与雌性和结合,也是婚姻;“6”是神的生命,是灵魂;“7”是机会;“8”是和谐,也是爱情和友谊;“9”是理性和强大;“10”包容了一切数目,是完满和美好。是不是跟老子的“道生一,一生二,二生三,三生万物”不谋而合?

在宇宙论方面,毕达哥拉斯结合了米利都学派以及自己有关数的理论。他认为存在着许多但有限个世界,并坚持大地是圆形的,不过则抛弃了米利都学派的地心说。地圆说是一种认为大地是球形的理论,毕达哥拉斯第一次提出大地是球体这一概念。这在当时的认知水平下是不可思议的,打破了当时主流“天圆地方、天盖地承”的传统认知。

毕达哥拉斯学派认为,我们生活在一系列的“同心球”之中,一环套一环。行星镶嵌在天球之上,跟随天球运转。最中心的位置是“中心火”,然后由里往外是对地、地球、月亮、太阳、金星、水星、火星、木星、土星、恒星天(即天球)。这种“地球-天球”模式的宇宙构图,形成了古希腊人的基本天文常识。后来运算术、几何来计算天体运动规律,都是在这个模式下计算的。随着观测数据越来越丰富,计算结果越来越超出意外,人们对这个框架修修补补,终于在两千多年的积累中,迎来了哥白尼革命。

毕达哥拉斯本人以发现毕达哥拉斯定理(勾股定理)著称于世。在中国古代大约是公元前2到1世纪成书的数学著作《周髀算经》中假托商高同周公的一段对话。商高说:“…故折矩,勾广三,股修四,经隅五。”以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。这就是中国著名的勾股定理。这定理早已为巴比伦人所知,不过最早的证明大概可归功于毕达哥拉斯。他是用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和,即毕达哥拉斯定理。

在几何学方面,毕达哥拉斯学派证明了“三角形内角之和等于两个直角”的论断;研究了黄金分割;发现了正五角形和相似多边形的作法;还证明了正多面体只有五种——正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。

毕达哥拉斯是世界上第一个发现黄金分割理论的。黄金分割是指将整体一分为二,较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值,其比值约为0.618。黄金数被冠为“最优雅的比例节奏”的美称,在现实中有很多体现。人类自身的身体从肚脐到脚底的高度与身高的比为黄金数;埃及金字塔的底面边长与高的比为黄金数;我们在拍照的时候如果站在黄金分割点,就会比较协调。

与宇宙间天体运行相似的是,毕达哥拉斯将一条弦固定,通过不同的比例区分整体与部分间的距离,结果发现:弦长比为2:1时,则发出相隔八度的两个高音;当弦长之比为4:3、3:2时,则发出纯五度、纯四度的音程关系,这种数量关系,是对乐音组成的原初认识,即和谐的最简单的形式。毕达哥拉斯用这种方法创造了一套互相有明确数学关系的音律,被称作五度相生律。这套定律不仅成为了毕达哥拉斯学派各种艺术活动中的基石,也流传至后世一直影响着现代的音乐理论。

毕达哥拉斯坚信,世界上的数字均可以用整数或者整数之比(即分数)来表示。但是毕达哥拉斯的学生之一希帕索斯(Hippasus)却发现,若根据勾股定理计算边长为1的正方形的对角线)不能用任何一个整数之比来表示,这是人类发现的第一个无理数。这一发现触犯了毕达哥拉斯学派的信条,希帕索斯后被毕达哥拉斯投海溺毙。这次事件被称作数学历史上的第一次危机,它否定了一切数都是有理数的结论。直到18至19世纪,关于微积分严格性的讨论才对第一次数学危机给出了解答。

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